Exponentielle complexe

Définition

Pour tout `\theta \in \mathbb{R}` , on note \(\text e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\) .

Remarque

On écrit aussi \(\text e^{i\theta}=\exp(i\theta)\) .

Exemples

On a les égalités suivantes :

\(\text e^{0i}=\cos(0)+i\sin(0)=1\)

\(\text e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1\) et on en déduit la célèbre identité d'Euler : \(\text e^{i\pi}+1=0\)

\(\text e^{2i\pi}=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1\)

\(\text e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=i\)  

\(\text e^{\frac{3i\pi}{2}}=\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-i\)  

\(\text e^{i\frac{\pi}{4}}=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(e^{\frac{2i\pi}{3}}=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)